Question

美国硬币厚度如下：一分硬币为 $1.55$ 毫米，五分硬币为 $1.95$ 毫米，十分硬币为 $1.35$ 毫米，二十五分硬币为 $1.75$ 毫米。如果一叠这样的硬币高度正好为 $14$ 毫米，那么这叠硬币有多少枚？

In the United States, coins have the following thicknesses: penny, $1.55$ mm; nickel, $1.95$ mm; dime, $1.35$ mm; quarter, $1.75$ mm. If a stack of these coins is exactly $14$ mm high, how many coins are in the stack?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：B

知识点：位值小数极限情形界定

难度评级：1530

解答：

把每个厚度都用百分之一毫米表示。四种可能的厚度为 $135,155,175,195,$ 它们都同余于 $15\pmod{20}.$ 若一摞有 $k$ 枚硬币且高度为整数毫米，则以百分之一毫米表示的总厚度能被 $20,$ 整除，所以 $15k$ 能被 $20.$ 整除。因此 $k$ 必须是 $4$ 的倍数。

$4$ 枚硬币的高度至多为 $4(1.95) = 7.8$ 毫米， $12$ 枚硬币的高度至少为 $12(1.35) = 16.2$ 毫米，所以只有 $8$ 枚硬币可能恰好高 $14$ 毫米。

事实上， $8$ 枚二十五美分硬币的高度为 $8(1.75) = 14$ 毫米。

所以正确答案是 B。

Measure every thickness in hundredths of a millimeter. The four possible thicknesses are $135,155,175,195,$ all congruent to $15\pmod{20}.$ If the stack has $k$ coins and an integer height, its total in hundredths is divisible by $20,$ so $15k$ is divisible by $20.$ Therefore $k$ must be a multiple of $4.$

A stack of $4$ coins is at most $4(1.95) = 7.8$ mm, and a stack of $12$ coins is at least $12(1.35) = 16.2$ mm, so only $8$ coins can total $14$ mm.

Indeed, $8$ quarters give $8(1.75) = 14$ mm.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B 第 13 题

答案：B

难度评级：1530

解答：

其他年份的第 13 题