2004 AMC 10B 第 13 题

Question

美国硬币厚度如下：一分硬币为

1.55

毫米，五分硬币为

1.95

毫米，十分硬币为

1.35

毫米，二十五分硬币为

1.75

毫米。如果一叠这样的硬币高度正好为

14

毫米，那么这叠硬币有多少枚？

In the United States, coins have the following thicknesses: penny,

1.55

mm; nickel,

1.95

mm; dime,

1.35

mm; quarter,

1.75

mm. If a stack of these coins is exactly

14

mm high, how many coins are in the stack?

7

8

9

10

11

答案：B

知识点：位值小数极限情形界定

难度评级：1530

小提示：

每种硬币厚度的百分位都是

5

，所以考虑总高度小数末两位。

Every coin thickness ends in a

5

in the hundredths place, so consider the height’s last two decimal digits

大提示：

要让总高度是整数毫米，硬币枚数必须是

4

的倍数。

For the height to be a whole number of mm, the number of coins must be a multiple of

4

解答：

把每个厚度都用百分之一毫米表示。四种可能的厚度为

135

、

155

、

175

、

195

，它们都同余于

15\pmod{20}

。若一摞有

k

枚硬币且高度为整数毫米，则以百分之一毫米表示的总厚度能被

20

整除，所以

15k

能被

20

整除。因此

k

必须是

4

的倍数。

4

枚硬币的高度至多为

4(1.95) = 7.8

毫米，

12

枚硬币的高度至少为

12(1.35) = 16.2

毫米，所以只有

8

枚硬币可能恰好高

14

毫米。

事实上，

8

枚二十五美分硬币的高度为

8(1.75) = 14

毫米。

所以正确答案是 B。

Measure every thickness in hundredths of a millimeter. The four possible thicknesses are

135,

155,

175,

195,

all congruent to

15\pmod{20}.

If the stack has

k

coins and an integer height, its total in hundredths is divisible by

20,

so

15k

is divisible by

20.

Therefore

k

must be a multiple of

4.

A stack of

4

coins is at most

4(1.95) = 7.8

mm, and a stack of

12

coins is at least

12(1.35) = 16.2

mm, so only

8

coins can total

14

mm.

Indeed,

8

quarters give

8(1.75) = 14

mm.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B 第 13 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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