2004 AMC 10A 第 20 题

先试着解答 2004 AMC 10A 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2004 AMC 10A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

点

E

和

F

位于正方形

ABCD

上，使得

\triangle BEF

是等边三角形。

\triangle DEF

的面积与

\triangle ABE

的面积之比是多少？

Points

E

and

F

are located on square

ABCD

so that

\triangle BEF

is equilateral. What is the ratio of the area of

\triangle DEF

to that of

\triangle ABE?

\dfrac{4}{3}

\dfrac{3}{2}

\sqrt{3}

2

1 + \sqrt{3}

答案：D

知识点：等边三角形面积比勾股定理

难度评级：1790

小提示：

设正方形边长为

1

，并设

ED = DF = x

。

Let the square have side

1

and set

ED = DF = x

大提示：

由

EF^2 = EB^2

，得到

2x^2 = 1 + (1 - x)^2

。

From

EF^2 = EB^2,

get

2x^2 = 1 + (1 - x)^2

解答：

设正方形边长为

1

，

ED = DF = x

，

AE = 1 - x

。

由于

\triangle BEF

是等边三角形，

EF^2 = EB^2

，所以

2x^2 = 1 + (1 - x)^2\text{，}

化简得

x^2 = 2(1 - x)

。

此外

[DEF] = \tfrac12 x^2

，

[ABE] = \tfrac12(1 - x)

，所以

\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[ABE]} &= \dfrac{x^2}{1 - x} \\ &= \dfrac{2(1 - x)}{1 - x} = 2 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let the square have side

1,

and by symmetry let

ED = DF = x,

so

AE = 1 - x.

Since

\triangle BEF

is equilateral,

EF^2 = EB^2,

giving

2x^2 = 1 + (1 - x)^2,

which simplifies to

x^2 = 2(1 - x).

The right triangles have areas

[DEF] = \tfrac12 x^2

and

[ABE] = \tfrac12(1 - x),

so

\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[ABE]} &= \dfrac{x^2}{1 - x} \\ &= \dfrac{2(1 - x)}{1 - x} = 2. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.