2003 AMC 10A 第 20 题

Question

随机选择一个

10

进制三位数

n

。下列哪个数最接近这样的概率：

n

的

9

进制表示和

11

进制表示都是三位数？

A base-

10

three-digit number

n

is selected at random. Which of the following is closest to the probability that the base-

9

representation and the base-

11

representation of

n

are both three-digit numerals?

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

答案：E

知识点：进制基本概率区间内整数计数

难度评级：1660

小提示：

一个数在

9

进制中是三位数当且仅当

81 \le n \le 728

，在

11

进制中是三位数当且仅当

121 \le n \le 1330

。

A number is three-digit in base

9

when

81 \le n \le 728,

and three-digit in base

11

when

121 \le n \le 1330

大提示：

在

900

个

10

进制三位数中，数出满足

121 \le n \le 728

的个数。

Among the

900

three-digit base-

10

numbers, count those with

121 \le n \le 728

解答：

最大的

9

进制三位数是

9^3 - 1 = 728

，最小的

11

进制三位数是

11^2 = 121

。

所以两种表示都为三位数当且仅当

121 \le n \le 728

，共有

608

个整数。

全部三位数共有

900

个，概率为

\dfrac{608}{900} \approx 0.7

。

所以正确答案是 E。

The largest three-digit base-

9

number is

9^3 - 1 = 728,

and the smallest three-digit base-

11

number is

11^2 = 121.

So both conditions hold exactly when

121 \le n \le 728,

giving

608

integers.

Out of

900

three-digit numbers, the probability is

\dfrac{608}{900} \approx 0.7.

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 10A 第 20 题

答案：E

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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