Question

随机选择一个 $10$ 进制三位数 $n$ 。下列哪个数最接近这样的概率： $n$ 的 $9$ 进制表示和 $11$ 进制表示都是三位数？

A base- $10$ three-digit number $n$ is selected at random. Which of the following is closest to the probability that the base- $9$ representation and the base- $11$ representation of $n$ are both three-digit numerals?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

答案：E

知识点：进制基本概率区间内整数计数

难度评级：1660

解答：

最大的 $9$ 进制三位数是 $9^3 - 1 = 728$ ，最小的 $11$ 进制三位数是 $11^2 = 121$ 。

所以两种表示都为三位数当且仅当 $121 \le n \le 728$ ，共有 $608$ 个整数。

全部三位数共有 $900$ 个，概率为 $\dfrac{608}{900} \approx 0.7$ 。

所以正确答案是 E。

The largest three-digit base- $9$ number is $9^3 - 1 = 728,$ and the smallest three-digit base- $11$ number is $11^2 = 121.$

So both conditions hold exactly when $121 \le n \le 728,$ giving $608$ integers.

Out of $900$ three-digit numbers, the probability is $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 10A 第 20 题

答案：E

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 20 题