2002 AMC 10B 第 6 题

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6.

对多少个正整数

n

，表达式

n^2 - 3n + 2

是质数？

For how many positive integers

n

is

n^2 - 3n + 2

a prime number?

没有

none

一个

one

两个

two

多于两个，但有限个

more than two, but finitely many

无穷多个

infinitely many

答案：B

知识点：因式分解质数

难度评级：1070

小提示：

分解

n^2 - 3n + 2

。

Factor

n^2 - 3n + 2

大提示：

要让

(n-1)(n-2)

是质数，其中一个因数必须等于

1

。

For

(n-1)(n-2)

to be prime, one factor must equal

1

解答：

分解得

n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2)

。

当

n \ge 4

时，两个因数都大于

1

，乘积为合数。当

n = 1

或

n = 2

时，原式为

0

；当

n = 3

时，原式为

(2)(1) = 2

，是质数。

所以恰好有一个

n

可行。

所以正确答案是 B。

Factor as

n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2).

For

n \ge 4,

both factors exceed

1,

so the product is composite. For

n = 1

and

n = 2

the value is

0,

and for

n = 3

the value is

(2)(1) = 2,

which is prime.

So exactly one value of

n

works.

Thus, the correct answer is B.