Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为实数，满足 $a - 7b + 8c = 4$ 和 $8a + 4b - c = 7$ 。求 $a^2 - b^2 + c^2$ 。

Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that $a - 7b + 8c = 4$ and $8a + 4b - c = 7.$ What is $a^2 - b^2 + c^2?$

$0$

$1$

$4$

$7$

$8$

答案：B

知识点：代数变形方程组

难度评级：1790

解答：

将方程改写为 $a + 8c = 4 + 7b$ 和 $8a - c = 7 - 4b$ 。两式平方后相加： $\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}$

左边展开为 $65a^2 + 65c^2$ ， $ac$ 项抵消；右边展开为 $65 + 65b^2$ ， $b$ 项抵消。因此所以 $a^2 - b^2 + c^2 = 1$ 。 $65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),$

所以正确答案是 B。

Rewrite the equations as $a + 8c = 4 + 7b$ and $8a - c = 7 - 4b.$ Squaring both and adding, $\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}$

The left side expands to $65a^2 + 65c^2$ (the $ac$ terms cancel), and the right side expands to $65 + 65b^2$ (the $b$ terms cancel). So $65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),$ giving $a^2 - b^2 + c^2 = 1.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 20 题