2002 AMC 10B 第 20 题

Question

设

a

、

b

、

c

为实数，满足

a - 7b + 8c = 4

和

8a + 4b - c = 7

。求

a^2 - b^2 + c^2

。

Let

a,

b,

and

c

be real numbers such that

a - 7b + 8c = 4

and

8a + 4b - c = 7.

What is

a^2 - b^2 + c^2?

0

1

4

7

8

答案：B

知识点：代数变形方程组

难度评级：1790

小提示：

改写为

a + 8c = 4 + 7b

和

8a - c = 7 - 4b

。

Rearrange to

a + 8c = 4 + 7b

and

8a - c = 7 - 4b

大提示：

将两个方程分别平方后相加；含

b

的交叉项会很好地抵消。

Square both equations and add; the cross terms with

b

cancel nicely

解答：

将方程改写为

a + 8c = 4 + 7b

和

8a - c = 7 - 4b

。两式平方后相加：

\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2 \end{aligned}\text{。}

左边展开为

65a^2 + 65c^2

，

ac

项抵消；右边展开为

65 + 65b^2

，

b

项抵消。因此

65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2)\text{，}

所以

a^2 - b^2 + c^2 = 1

。

所以正确答案是 B。

Rewrite the equations as

a + 8c = 4 + 7b

and

8a - c = 7 - 4b.

Squaring both and adding,

\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}

The left side expands to

65a^2 + 65c^2

(the

ac

terms cancel), and the right side expands to

65 + 65b^2

(the

b

terms cancel). So

65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),

giving

a^2 - b^2 + c^2 = 1.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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