Question

什么 $x$ 值使得 $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ 对所有 $y$ 都成立？

What value of $x$ makes $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ true for all values of $y?$

$\dfrac23$

$\dfrac32$ 或 $-\dfrac14$

$\dfrac32$ or $-\dfrac14$

$-\dfrac23$ 或 $-\dfrac14$

$-\dfrac23$ or $-\dfrac14$

$\dfrac32$

$-\dfrac32$ 或 $-\dfrac14$

$-\dfrac32$ or $-\dfrac14$

分组因式分解： $\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}$

要使它对所有 $y$ 都等于 $0$ ，不能依靠含 $y$ 的因子为零，所以必须有 $2x - 3 = 0$ ，得到 $x = \dfrac32$ 。

所以正确答案是 D。

Grouping and factoring, $\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}$

For this to equal $0$ for all $y,$ the factor that depends on $y$ cannot be forced to zero, so we need $2x - 3 = 0,$ giving $x = \dfrac32.$

Thus, the correct answer is D.