2002 AMC 10B 第 13 题

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13.

什么

x

值使得

8xy - 12y + 2x - 3 = 0

对所有

y

都成立？

What value of

x

makes

8xy - 12y + 2x - 3 = 0

true for all values of

y?

\dfrac23

\dfrac32

或

-\dfrac14

\dfrac32

or

-\dfrac14

-\dfrac23

或

-\dfrac14

-\dfrac23

or

-\dfrac14

\dfrac32

-\dfrac32

或

-\dfrac14

-\dfrac32

or

-\dfrac14

答案：D

知识点：因式分解代数变形

难度评级：1220

小提示：

将左边分组因式分解。

Group terms to factor the left side

大提示：

8xy - 12y + 2x - 3

= (4y + 1)(2x - 3)

，它必须对每个

y

都等于零。

8xy - 12y + 2x - 3

= (4y + 1)(2x - 3)

; it must vanish for every

y

解答：

分组因式分解：

\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3) \end{aligned}\text{。}

要使它对所有

y

都等于

0

，不能依靠含

y

的因子为零，所以必须有

2x - 3 = 0

，得到

x = \dfrac32

。

所以正确答案是 D。

Grouping and factoring,

\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}

For this to equal

0

for all

y,

the factor that depends on

y

cannot be forced to zero, so we need

2x - 3 = 0,

giving

x = \dfrac32.

Thus, the correct answer is D.