2002 AMC 10B 第 12 题

Question

对下列哪个

k

值，方程

\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}

没有

x

的解？

For which of the following values of

k

does the equation

\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}

have no solution for

x?

1

2

3

4

5

答案：E

知识点：分式方程一次方程

难度评级：1370

小提示：

交叉相乘并展开两边。

Cross multiply and expand both sides

大提示：

方程会变成一次方程；当

x

的系数为零时无解。

The equation becomes linear; it has no solution when the coefficient of

x

vanishes

解答：

交叉相乘得

(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k)

，展开为

\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k \end{aligned}\text{。}

约去

x^2

后得到

(k - 5)x = 2k - 6

。当

k

等于

1

、

2

、

3

或

4

时，都能得到一个有效的

x

，且它既不是使分母为零的

2

，也不是

6

。当

k=5

时，方程变为

0\cdot x=4

，无解。

所以正确答案是 E。

Cross multiplying gives

(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),

which expands to

\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}

Cancelling

x^2

leaves

(k - 5)x = 2k - 6.

For

k

equal to

1,

2,

3,

or

4,

this gives a valid value of

x

that is neither excluded denominator value

2

nor

6.

For

k=5,

the equation instead becomes

0\cdot x=4,

which has no solution.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B 第 12 题

答案：E

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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