Question

从边长为 $2000$ 的正方形四个角各切去一个等腰直角三角形，形成一个正八边形。这个八边形每条边的长度是多少？

A regular octagon is formed by cutting an isosceles right triangle from each of the corners of a square with sides of length $2000.$ What is the length of each side of the octagon?

$\dfrac13(2000)$

$2000(\sqrt2-1)$

$2000(2-\sqrt2)$

$1000$

$1000\sqrt2$

答案：B

知识点：正多边形特殊直角三角形分母有理化

难度评级：1580

解答：

设八边形边长为 $x$ 。每个被切去的等腰直角三角形的斜边也是八边形的一条边，所以它的直角边为 $\dfrac{x}{\sqrt2}$ 。

沿正方形的一条边，有两段这样的直角边和一条八边形边，因此 $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000$ ，即 $x(\sqrt2+1)=2000$ ，所以 $x=\dfrac{2000}{\sqrt2+1}=2000(\sqrt2-1)$ 。

所以正确答案是 B。

Let each octagon side be $x.$ It is the hypotenuse of each cut isosceles right triangle, whose legs are $\dfrac{x}{\sqrt2}.$

Along one side of the square, two legs and one octagon side give $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000,$ so $x(\sqrt2+1)=2000$ and $x=\dfrac{2000}{\sqrt2+1}=2000(\sqrt2-1).$

Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 第 20 题

答案：B

难度评级：1580

解答：

其他年份的第 20 题