Question

图中有 $28$ 个格点，每个格点与最近的相邻格点相距一个单位。线段 $AB$ 与线段 $CD$ 交于 $E$ 求线段 $AE$ 的长度。

The diagram shows $28$ lattice points, each one unit from its nearest neighbors. Segment $AB$ meets segment $CD$ at $E.$ Find the length of segment $AE.$

$\dfrac{4\sqrt5}{3}$

$\dfrac{5\sqrt5}{3}$

$\dfrac{12\sqrt5}{7}$

$2\sqrt5$

$\dfrac{5\sqrt{65}}{9}$

答案：B

知识点：坐标几何距离公式方程组

难度评级：1690

解答：

取坐标 $A = (0, 3)$ 、 $B = (6, 0)$ 、 $C = (4, 2)$ 、 $D = (2, 0)$ 。

直线 $AB$ 是 $x + 2y = 6$ ，直线 $CD$ 是 $x - y = 2$ 联立解得 $E = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$ 。

因此 $\begin{aligned} AE &= \sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{5\sqrt5}{3}. \end{aligned}$

所以正确答案是 B。

Place the points at $A = (0, 3),$ $B = (6, 0),$ $C = (4, 2),$ $D = (2, 0).$

Line $AB$ is $x + 2y = 6$ and line $CD$ is $x - y = 2.$ Solving simultaneously gives $E = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3}\right).$

Then $\begin{aligned} AE &= \sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{5\sqrt5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 第 16 题

答案：B

难度评级：1690

解答：

其他年份的第 16 题