Question

点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $\overline{CD}$ 的中点， $\overline{BE}$ 与对角线 $\overline{AC}$ 相交于 $F$ 。四边形 $AFED$ 的面积为 $45$ 。正方形 $ABCD$ 的面积是多少？

Point $E$ is the midpoint of side $\overline{CD}$ in square $ABCD,$ and $\overline{BE}$ meets diagonal $\overline{AC}$ at $F.$ The area of quadrilateral $AFED$ is $45.$ What is the area of $ABCD?$

$100$

$108$

$120$

$135$

$144$

答案：B

知识点：相似正方形（几何）面积比

难度评级：1770

视频讲解：

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文字解答：

设 $H$ 是 $\overline{BC}$ 上的点，从 $F$ 向 $CAB$ 作高时垂足落在 $CFH$ 上。这条高 $CH=FH$ 如图所示。由角角相似可知且由相似三角形的对应边成比例，且因此且两式相加得于是现在设正方形边长为 $s$ 。我们知道 $BFH$ 。所以因此 $BEC$ 。 $EC=s/2$ ， $BC=s$ ， $BH=s-CH=s-FH$ ， $2FH/s=1-FH/s$ ， $FH=CH=s/3$ 。 $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$

现在计算 $EFC$ 的面积，它等于 $EC=s/2$ 的面积减去 $CH=s/3$ 的面积，即 $s^2/12$ 的面积等于 $45$ 的面积减去 $s^2=108$ 的面积，所以由得，这就是整个正方形的面积。 $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$

Let the square have side length $s,$ and let $H$ be the foot of the perpendicular from $F$ to $\overline{BC}.$ The right triangles $CAB$ and $CFH$ are similar, so $CH=FH.$ Also, triangles $BFH$ and $BEC$ are similar, giving $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$ Since $EC=s/2,$ $BC=s,$ and $BH=s-CH=s-FH,$ this becomes $2FH/s=1-FH/s,$ so $FH=CH=s/3.$

Thus triangle $EFC$ has base $EC=s/2$ and height $CH=s/3,$ so its area is $s^2/12.$ Therefore $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$ Since this area is $45$ , we get $s^2=108$ , the area of the square.

2018 AMC 8 第 22 题

答案：B

难度评级：1770

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