Question

有多少个正整数 $n$ ，使得 $\dfrac{n}{3}$ 和 $3n$ 都是三位整数？

For how many positive integer values of $n$ are both $\dfrac{n}{3}$ and $3n$ three-digit whole numbers?

$\ 12$

$\ 21$

$\ 27$

$\ 33$

$\ 34$

令 $x=\dfrac{n}{3}$ 。则 $n=3x$ ，所以 $3n=9x$ 。

$x$ 和 $9x$ 都必须是三位整数。因此 $100\le x$ ，并且 $9x\le999$ ，所以 $100\le x\le111$ 。

共有 $111-100+1=12$ 个整数 $x$ ，每个都对应一个正整数 $n$ 。

所以正确答案是 A。

Let $x=\dfrac{n}{3}$ . Then $n=3x$ , so $3n=9x$ .

Both $x$ and $9x$ must be three-digit whole numbers. Thus $100\le x$ and $9x\le999$ , so $100\le x\le111$ .

There are $111-100+1=12$ integer values of $x$ , and each gives one positive integer value of $n$ .

Thus, A is the correct answer.