Question

直线 $y = \tfrac{1}{3}x + 1$ 把由 $0 \le x \le 2$ 和 $0 \le y \le 2$ 定义的正方形区域分成上、下两部分。直线 $x = a$ 又把下方区域分成面积相等的两部分。若 $a$ 可以写成 $\sqrt{s} - t$ ，其中 $s$ 和 $t$ 是正整数，求 $s + t$ 。

The line $y = \tfrac{1}{3}x + 1$ divides the square region defined by $0 \le x \le 2$ and $0 \le y \le 2$ into an upper region and a lower region. The line $x = a$ divides the lower region into two regions of equal area. Then $a$ can be written as $\sqrt{s} - t,$ where $s$ and $t$ are positive integers. What is $s + t?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

答案：C

知识点：梯形面积二次方程

难度评级：1410

解答：

下方区域的面积为 $\int_0^2\left(\tfrac{x}{3} + 1\right)dx = \tfrac{2}{3} + 2 = \tfrac{8}{3}$ 。 $0 \le x \le a$ 的部分是面积为 $a + \tfrac{a^2}{6}$ 的梯形。它应等于总面积的一半，即 $\tfrac{4}{3}$ ，所以 $a^2 + 6a - 8 = 0$ ，从而 $a = -3 + \sqrt{17}$ 。因此 $s = 17$ ， $t = 3$ ， $s + t = 20$ 。因此正确答案是 C。

The lower region has area $\int_0^2\left(\tfrac{x}{3} + 1\right)dx = \tfrac{2}{3} + 2 = \tfrac{8}{3}.$ The slice with $0 \le x \le a$ is a trapezoid of area $a + \tfrac{a^2}{6}.$ We want that to be half the total, namely $\tfrac{4}{3},$ so $a^2 + 6a - 8 = 0$ and $a = -3 + \sqrt{17}.$ Then $s = 17,$ $t = 3,$ and $s + t = 20.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10B 第 6 题

答案：C

难度评级：1410

解答：

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