Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 10$ 、 $AC = 18$ 、 $\angle B = 130^\circ$ 。设 $O$ 是经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的圆的圆心。求 $\angle CAO$ 的度数。

In $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $AC = 18,$ and $\angle B = 130^\circ.$ Let $O$ be the center of the circle containing points $A,$ $B,$ and $C.$ What is the degree measure of $\angle CAO?$

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径圆周角等腰三角形

难度评级：1310

解答：

因为 $O$ 是外心， $OA = OB = OC$ 。圆周角 $\angle B = 130^\circ$ 对应弧 $AC$ ，且由于 $B$ 是钝角，对应的小圆心角为 $\angle AOC = 360^\circ$ $- 2 \cdot 130^\circ = 100^\circ$ 。三角形 $OAC$ 是等腰三角形，所以 $\angle CAO = \tfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ$ 。边长 $AB$ 和 $AC$ 实际上不需要用到。因此正确答案是 C。

Since $O$ is the circumcenter, $OA = OB = OC.$ The inscribed angle $\angle B = 130^\circ$ subtends arc $AC,$ and because $B$ is obtuse, the central angle is $\angle AOC = 360^\circ$ $- 2 \cdot 130^\circ = 100^\circ.$ Triangle $OAC$ is isosceles, so $\angle CAO = \tfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ.$ (The lengths $AB$ and $AC$ never enter.) Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B 第 5 题

答案：C

难度评级：1310

解答：

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