Question

有多少个面积为正的等腰三角形，其边长都是正整数，并且最长边的长度为 $2025$ ？

How many isosceles triangles are there with positive area whose side lengths are all positive integers and whose longest side has length $2025?$

$2025$

$2026$

$3012$

$3037$

$4050$

答案：D

知识点：等腰三角形三角不等式分类讨论

难度评级：1130

解答：

分成两种情况。若有两条边都等于 $2025$ ，第三边可以是从 $1$ 到 $2025$ 的任意整数，共有 $2025$ 个三角形。现在假设 $2025$ 是唯一的最长边。两条相等的腰长 $s$ 必须满足三角不等式 $2s \gt 2025$ ，并且 $s \le 2024$ 。因此 $s$ 从 $1013$ 到 $2024$ ，共有 $1012$ 个三角形。总数为 $2025 + 1012 = 3037$ 。因此正确答案是 D。

Split into two cases. Say two sides both equal $2025.$ Then the third side can be any integer from $1$ to $2025,$ which is $2025$ triangles. Now suppose $2025$ is the unique longest side. The two equal legs $s$ must satisfy $2s \gt 2025$ by the triangle inequality, and $s \le 2024.$ So $s$ runs from $1013$ to $2024,$ giving $1012$ triangles. Adding up, $2025 + 1012 = 3037.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10A 第 3 题

答案：D

难度评级：1130

解答：

其他年份的第 3 题