Question

下图中， $ABEF$ 是矩形， $AD \perp DE$ ， $AF = 7$ ， $AB = 1$ ，且 $AD = 5$ 。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

In the figure below, $ABEF$ is a rectangle, $AD \perp DE,$ $AF = 7,$ $AB = 1,$ and $AD = 5.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{8}\sqrt{13}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{1}{8}\sqrt{15}$

答案：A

知识点：相似勾股定理二次方程

难度评级：1730

解答：

设 $x = BC$ 。因为 $ABEF$ 是矩形， $AB = 1$ 、 $AF = 7$ ，且 $AD = 5$ ，所以 $AC = \sqrt{1 + x^2}$ ， $CE = 7 - x$ ， $CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}$ 。三角形 $\triangle ABC$ 和 $\triangle EDC$ 相似，因此 $\frac{7 - x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{5 - \sqrt{1 + x^2}}{x}$ 。清除分母并平方，可得 $24x^2 + 14x - 24 = 0$ ，它分解为 $(4x - 3)(3x + 4) = 0$ 。正根为 $x = \tfrac{3}{4}$ 。面积为 $\tfrac12 \cdot \tfrac34 \cdot 1 = \tfrac{3}{8}$ 。因此正确答案是 A。

Let $x = BC.$ Since $ABEF$ is a rectangle with $AB = 1$ and $AF = 7,$ and $AD = 5,$ we get $AC = \sqrt{1 + x^2},$ $CE = 7 - x,$ and $CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}.$ The triangles $\triangle ABC$ and $\triangle EDC$ are similar, so $\frac{7 - x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{5 - \sqrt{1 + x^2}}{x}.$ Clear denominators and square to get $24x^2 + 14x - 24 = 0,$ which factors as $(4x - 3)(3x + 4) = 0.$ The positive root is $x = \tfrac{3}{4}.$ So the area is $\tfrac12 \cdot \tfrac34 \cdot 1 = \tfrac{3}{8}.$ Thus, A is the correct answer.

2025 AMC 10A 第 15 题

答案：A

难度评级：1730

解答：

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