2024 AMC 10B 第 7 题

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7.

7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}

除以

19

的余数是多少？

What is the remainder when

7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}

is divided by

19?

0

1

7

11

18

答案：A

知识点：模运算因式分解指数

难度评级：1250

小提示：

提出公因子

7^{2024}

。

Factor out

7^{2024}

大提示：

剩下的因子是

1 + 7 + 49

；检查它与

19

的关系。

The remaining factor is

1 + 7 + 49;

check its relationship to

19

解答：

提出公共幂：

7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}

= 7^{2024}(1 + 7 + 49)

= 7^{2024} \cdot 57

。而

57 = 3 \cdot 19

，所以整个乘积是

19

的倍数。余数为

0

。因此正确答案是 A。

Pull out the common power:

7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}

= 7^{2024}(1 + 7 + 49)

= 7^{2024} \cdot 57.

And

57 = 3 \cdot 19,

so the product is a multiple of

19.

The remainder is

0.

Thus, A is the correct answer.