Question

$16$ 个人将被分成 $4$ 个不可区分的 $4$ 人委员会。每个委员会有一名主席和一名秘书。这些安排方式的数量可写成 $3^r M$ ，其中 $r$ 和 $M$ 是正整数，且 $M$ 不被 $3$ 整除。求 $r$ 。

A group of $16$ people will be partitioned into $4$ indistinguishable $4$ -person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as $3^r M,$ where $r$ and $M$ are positive integers and $M$ is not divisible by $3.$ What is $r?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：A

知识点：组合勒让德公式质因数分解

难度评级：2120

解答：

先把 $16$ 个人分成 $4$ 个不可区分的 $4$ 人组，共有 $\dfrac{16!}{(4!)^4 \, 4!}$ 种方法；每个委员会再选主席和秘书，有 $4 \cdot 3 = 12$ 种，因而贡献因子 $12^4$ 。现在数因子 $3$ 。在 $16!$ 中有 $\lfloor 16/3 \rfloor + \lfloor 16/9 \rfloor = 6$ ；分母 $(4!)^4 \, 4!$ 贡献 $4 \cdot 1 + 1 = 5$ ；而 $12^4$ 贡献 $4$ 。指数为 $6 - 5 + 4 = 5$ ，所以 $r = 5$ 。因此正确答案是 A。

Split $16$ people into $4$ indistinguishable groups of $4$ in $\dfrac{16!}{(4!)^4 \, 4!}$ ways, then each committee picks a chairperson and a secretary in $4 \cdot 3 = 12$ ways, a factor of $12^4.$ Now count factors of $3.$ In $16!$ there are $\lfloor 16/3 \rfloor + \lfloor 16/9 \rfloor = 6;$ the denominator $(4!)^4 \, 4!$ contributes $4 \cdot 1 + 1 = 5;$ and $12^4$ contributes $4.$ The exponent is $6 - 5 + 4 = 5,$ so $r = 5.$ Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B 第 22 题

答案：A

难度评级：2120

解答：

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