Question

一个由 $9$ 个实数组成的列表包括 $1$ 、 $2.2$ 、 $3.2$ 、 $5.2$ 、 $6.2$ 、 $7$ ，以及 $x, y, z$ ，其中 $x \le y \le z$ 。这个列表的极差为 $7$ ，平均数和中位数都是正整数。有多少个有序三元组 $(x, y, z)$ 可能？

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ as well as $x, y, z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

无限多个

infinitely many

答案：C

知识点：平均数中位数（数据）极差分类讨论

难度评级：1730

解答：

六个固定数之和为 $24.8.$ 若平均数是整数 $k,$ 则 $x+y+z=9k-24.8.$ 因为固定数已经从 $1$ 延伸到 $7,$ 极差条件给出三种情况。

若 $z\le7,$ 则 $x=0.$ 对 $y+z$ 的范围限制迫使 $k=3$ 或 $4.$ 当 $k=3,$ 时，中位数为 $2.2;$ 当 $k=4,$ 时， $y+z=11.2,$ 所以 $y\ge4.2$ ，而中位数为整数仅当 $y=5,$ 得到 $(x,y,z)=(0,5,6.2).$

若 $x\ge1,$ 则 $z=8.$ 此时 $k=4$ 给出中位数 $3.2.$ 当 $k=5,$ 时， $x+y=12.2;$ 中位数为整数仅当 $x=6,$ 得到 $(6,6.2,8).$

剩余情况满足 $0<x<1$ 且 $z=x+7.$ 总和介于 $31.8$ 与 $41.8,$ 之间，所以 $k=4$ ，且 $y=4.2-2x.$ 中位数为整数仅当 $y=4,$ 得到 $(0.1,4,7.1).$ 因此恰有 $3$ 个有序三元组符合条件。所以正确答案是 C。

The six fixed numbers total $24.8.$ If the mean is the integer $k,$ then $x+y+z=9k-24.8.$ Because the fixed entries already run from $1$ to $7,$ the range condition gives three cases.

If $z\le7,$ then $x=0.$ The bounds on $y+z$ force $k=3$ or $4.$ For $k=3,$ the median is $2.2;$ for $k=4,$ we have $y+z=11.2,$ so $y\ge4.2$ and the median is integral only when $y=5,$ giving $(x,y,z)=(0,5,6.2).$

If $x\ge1,$ then $z=8.$ Here $k=4$ gives median $3.2.$ For $k=5,$ we have $x+y=12.2;$ the median is integral only when $x=6,$ giving $(6,6.2,8).$

The remaining case has $0<x<1$ and $z=x+7.$ The total lies between $31.8$ and $41.8,$ so $k=4$ and $y=4.2-2x.$ The median can be an integer only when $y=4,$ giving $(0.1,4,7.1).$ Hence exactly $3$ ordered triples work. Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 15 题

答案：C

难度评级：1730

解答：

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