Question

正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$ 。 $x + y$ 的最小可能值是多少？

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ What is the minimum possible value of $x + y?$

$585$

$595$

$623$

$700$

$791$

答案：B

知识点：根式质因数分解最优化

难度评级：1560

解答：

因为 $1183 = 7 \cdot 13^2$ ，所以 $\sqrt{1183} = 13\sqrt7$ 。平方 $x$ ，得 $y$ 。于是 $\sqrt{xy}$ 为有理数，这迫使 $x=da^2$ 都是 $y=db^2$ 乘以完全平方数： $d$ ， $a,b$ ，且 $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7$ 。此时 $d=7$ ，在 $a$ 、 $b$ 尽量接近时最小。取 $a+b=13$ ， $x+y=7(a^2+b^2)$ ，得 $a=6$ 。因此正确答案是 B。 $b=7$ $x+y=7(36+49)=595$ 。

Since $1183 = 7 \cdot 13^2,$ we have $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Squaring the given equation shows that $\sqrt{xy}$ is rational. Thus $x$ and $y$ have the same squarefree part: write $x=da^2$ and $y=db^2,$ where $d$ is squarefree and $a,b$ are positive integers. Then $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7,$ so $d=7$ and $a+b=13.$ Therefore $x+y=7(a^2+b^2),$ which is smallest when $a$ and $b$ are as close as possible. Taking $a=6$ and $b=7$ gives $x+y=7(36+49)=595.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 13 题

答案：B

难度评级：1560

解答：

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