2024 AMC 10A 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

有多少个整数有序对

(m, n)

满足

\sqrt{n^2 - 49} = m\text{？}

How many ordered pairs of integers

(m, n)

satisfy

\sqrt{n^2 - 49} = m?

1

2

3

4

无限多个

Infinitely many

答案：D

知识点：丢番图方程平方差根式

难度评级：1440

小提示：

平方后得到

n^2 - 49 = m^2

，即

(n - m)(n + m) = 49

。

Squaring gives

n^2 - 49 = m^2,

so

(n - m)(n + m) = 49

大提示：

49

的分解很少；还要注意

m = \sqrt{\cdots} \ge 0

，但

n

可以为负。

49

has few factorizations; also

m = \sqrt{\cdots} \ge 0,

while

n

may be negative

解答：

因为

m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0

且为整数，所以

n^2 - 49 = m^2

，即

(n - m)(n + m) = 49

。分解

49

可得

|n| = 25, m = 24

，或

|n| = 7, m = 0

。因此有序对

(m, n)

为

(24, 25)

、

(24, -25)

、

(0, 7)

、

(0, -7)

，共

4

个，正确答案是 D。

Note

m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0

has to be an integer, so

n^2 - 49 = m^2,

which means

(n - m)(n + m) = 49.

The factorizations of

49

give

|n| = 25, m = 24

or

|n| = 7, m = 0.

So the ordered pairs

(m, n)

are

(24, 25),

(24, -25),

(0, 7),

(0, -7).

That’s

4

of them. Thus, D is the correct answer.