2023 AMC 10B 第 15 题

Question

使

m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!

成为完全平方数的最小正整数

m

是多少？

What is the least positive integer

m

such that

m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!

is a perfect square?

30

30030

70

1430

1001

答案：C

知识点：完全平方数质因数分解阶乘配对与分组

难度评级：1730

小提示：

成对组合阶乘：

(2k)! \cdot (2k+1)!

= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1)

，是平方数乘以一个奇数。

Pair the factorials:

(2k)! \cdot (2k+1)!

= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1),

a square times an odd number

大提示：

剩下的奇数因子和

16!

决定哪些质数出现奇数次。

The leftover odd factors and

16!

determine which primes appear to an odd power

解答：

将乘积分组为

(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!

。因为

(2k)!(2k+1)!

= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1)

，每一对都是平方数乘以一个奇数。这些奇数

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

的乘积为

3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

，平方自由部分为

7 \cdot 11 \cdot 13

。同时

16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13

的平方自由部分为

2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13

。两者相乘后，整个乘积的平方自由部分为

2 \cdot 5 \cdot 7

。因此最小的

m

是

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70

。所以正确答案是 C。

Group the product as

(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!.

Since

(2k)!(2k+1)!

= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1),

each pair is a perfect square times an odd number. Those odd numbers

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

multiply to

3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,

with squarefree part

7 \cdot 11 \cdot 13.

And

16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13

has squarefree part

2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.

Multiply the two: the squarefree part of the whole thing is

2 \cdot 5 \cdot 7.

That’s the smallest

m,

namely

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10B 第 15 题

答案：C

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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