2023 AMC 10A 第 5 题

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5.

8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5

的十进位表示有多少位数字？

How many digits are in the base-ten representation of

8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5?

14

15

16

17

18

答案：E

知识点：质因数分解数字

难度评级：1200

小提示：

把每个底数分解质因数：

8 = 2^3

，

15 = 3 \cdot 5

。

Factor each base into primes:

8 = 2^3

and

15 = 3 \cdot 5

大提示：

合并成

10^{15} \cdot 3^5

，也就是

3^5

后面接

15

个零。

Combine into

10^{15} \cdot 3^5,

which is

3^5

followed by

15

zeros

解答：

把所有数分解成质因数：

8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5

= 2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5

= 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 3^5

= 10^{15} \cdot 243

。这就是

243

后面接

15

个零，所以共有

3 + 15 = 18

位数字。因此，正确答案是 E。

Factor everything into primes.

8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5

= 2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5

= 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 3^5

= 10^{15} \cdot 243.

That’s

243

followed by

15

zeros, so it has

3 + 15 = 18

digits. Thus, E is the correct answer.