2023 AMC 10A 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

小于

2023

且能被

5

整除的正完全平方数有多少个？

How many positive perfect squares less than

2023

are divisible by

5?

8

9

10

11

12

答案：A

知识点：完全平方数整除性

难度评级：1050

小提示：

能被

5

整除的完全平方数一定能被

25

整除

A perfect square divisible by

5

must be divisible by

25

大提示：

把平方数写成

(5k)^2 = 25k^2 \lt 2023

，再数可行的

k

。

Write the square as

(5k)^2 = 25k^2 \lt 2023

and count the valid

k

解答：

如果一个完全平方数能被

5

整除，它就能被

25

整除，所以它形如

(5k)^2 = 25k^2

。我们需要

25k^2 \lt 2023

，即

k^2 \lt 80.9

。这允许

k = 1, 2, \ldots, 8

，共有

8

个平方数。因此，正确答案是 A。

If a perfect square is divisible by

5,

it’s divisible by

25,

so it looks like

(5k)^2 = 25k^2.

We need

25k^2 \lt 2023,

i.e.

k^2 \lt 80.9.

That allows

k = 1, 2, \ldots, 8,

which is

8

squares. Thus, A is the correct answer.