Question

考虑下面 $100$ 个集合，每个集合含 $10$ 个元素：其中有多少个集合恰好含有两个 $7$ 的倍数？ $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each: $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$ How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$\ 40$

$\ 42$

$\ 43$

$\ 49$

$\ 50$

答案：B

知识点：倍数模运算分类讨论

难度评级：1370

解答：

若某个集合中第一个 $7$ 的倍数个位为一、二或三，再加七仍在同一个十数段内，于是该集合恰好有两个七的倍数。若个位为 $1,2$ ，再加 $7$ 会进入下一个十数段；所以个位为 $3$ 时，该集合只有一个的倍数。

如果最后一位是 $j=0,1,\ldots,13$ ，加上 $7$ 后会在同一集合中得到个位为 $1000$ 的数。 $14$ $3\cdot14=42$ 。 $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$

在前个集合中，第一个的倍数的个位数会在中循环，每个集合重复一次。这会给出个集合；在其中，第一个的倍数之后还有另一个的倍数。第个和第个集合不满足，因为它们给出的第一个倍数分别是和，不可能含有个的倍数。因此共有个集合满足条件。所以答案是 B。

A block of ten consecutive integers contains exactly two multiples of $7$ precisely when its first multiple of $7$ is in one of the first three positions. Thus that multiple must have units digit $1,2,$ or $3.$

The multiples of $7$ with those units digits are, respectively, $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$ For each expression, $j=0,1,\ldots,13$ gives a value at most $1000,$ so each class contributes $14$ blocks. Therefore, the total is $3\cdot14=42.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B 第 8 题

答案：B

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 8 题