2022 AMC 10B 第 16 题

Question

下图显示一个边长为

4

和

8

的矩形，以及一个边长为

5

的正方形。正方形的三个顶点分别在矩形的三条不同边上，如图所示。求同时位于正方形和矩形内部的区域面积。

The diagram below shows a rectangle with side lengths

4

and

8

and a square with side length

5.

Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

15\dfrac{1}{8}

15\dfrac{3}{8}

15\dfrac{1}{2}

15\dfrac{5}{8}

15\dfrac{7}{8}

答案：D

知识点：全等（几何）相似梯形

难度评级：2150

小提示：

边长

5

给出

3

–

4

–

5

的斜率关系

The side length

5

gives a

3

–

4

–

5

slope relation

大提示：

对倾斜的正方形使用坐标法或相似三角形

Use coordinates or similar triangles for the tilted square

解答：

按下图标记各点：

因为

AB=4

，且正方形边长

BC=5

，直角三角形

ABC

给出

AC=3

。又因为

BC\perp CE

，且

A,C,D

共线，所以

\angle ABC=\angle DCE

。直角三角形

ABC

和

CDE

的斜边相等，都是

BC=CE=5

，所以两三角形全等。因此

CD=4, DE=3

，且

EF=4-DE=1

。

直角三角形

EFG

与

CDE

相似，所以

\frac{EG}{EF}=\frac{EC}{CD}=\frac54\text{。}

因此

EG=\frac{5}{4}

。阴影区域

BCEG

是梯形，两条平行边为

BC=5

和

EG=\frac{5}{4}

，高为垂直边

CE=5

。它的面积为

\frac12\left(5+\frac54\right)5=\frac{125}{8}=15\frac58\text{。}

所以答案是 D。

Label the points as shown:

Because

AB=4

and the square side

BC=5,

right triangle

ABC

gives

AC=3.

Also

BC\perp CE

and

A,C,D

are collinear, so

\angle ABC=\angle DCE.

The right triangles

ABC

and

CDE

have equal hypotenuses

BC=CE=5,

so they are congruent. Thus

CD=4, DE=3,

and

EF=4-DE=1.

Right triangles

EFG

and

CDE

are similar, so

\frac{EG}{EF}=\frac{EC}{CD}=\frac54.

Hence

EG=\frac{5}{4}.

The shaded region

BCEG

is a trapezoid whose parallel sides are

BC=5

and

EG=\frac{5}{4},

and whose height is the perpendicular side

CE=5.

Its area is

\frac12\left(5+\frac54\right)5=\frac{125}{8}=15\frac58.

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B 第 16 题

答案：D

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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