2022 AMC 10B 第 15 题

Question

设

S_n

是一个公差为

2

的等差数列的前

n

项和。商

\dfrac{S_{3n}}{S_n}

与

n

无关。求

S_{20}

。

Let

S_n

be the sum of the first

n

terms of an arithmetic sequence that has a common difference of

2.

The quotient

\dfrac{S_{3n}}{S_n}

does not depend on

n.

What is

S_{20}?

340

360

380

400

420

答案：D

知识点：等差数列求和

难度评级：1820

小提示：

利用商与 n 无关这一条件

Force the quotient to be independent of n

大提示：

用首项和公差表示这个等差数列。

Write the arithmetic sequence in terms of first term and common difference

解答：

将第

n

项写成

a+2n

，于是第一项的前一项为

a

。那么

\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1)\end{aligned}\text{。}

因此

\begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1} \end{aligned}\text{。}

要使这个表达式与

n

无关，最后一个分式的分子

6(a+1)

必须为

0

。因此

a=-1

。

所以

S_{20}=20(-1+20+1)=400\text{。}

所以答案是 D。

Write the

n

th term as

a+2n,

so the term before the first term is

a.

Then

\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}

Hence

\begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}

For this expression to be independent of

n,

its numerator

6(a+1)

in the final fraction must be

0.

Thus

a=-1.

Therefore,

S_{20}=20(-1+20+1)=400.

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B 第 15 题

答案：D

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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