2021 AMC 10B Fall 第 8 题

Question

16{,}384

的最大质因数是

2

，因为

16{,}384 = 2^{14}

。求

16{,}383

的最大质因数的各位数字之和。

The greatest prime number that is a divisor of

16{,}384

is

2

because

16{,}384 = 2^{14}.

What is the sum of the digits of the greatest prime number that is a divisor of

16{,}383?

3

7

10

16

22

16383=2^{14}-1

。

16383=2^{14}-1

使用

2^{14}-1=(2^7-1)(2^7+1)

。

Use

2^{14}-1=(2^7-1)(2^7+1)

有

\begin{aligned}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129\end{aligned}\text{。}

因为

129=3\cdot 43

，所以

16383 = 3\cdot 43\cdot 127\text{。}

因此

127

是最大质因数，其各位数字之和为

10

。

所以答案是 C。

We know

\begin{aligned}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129.\end{aligned}

Since

129=3\cdot 43,

we get

16383 = 3\cdot 43\cdot 127.

Therefore,

127

is the largest prime factor, and the sum of its digits is

10.

Thus, the answer is C .

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