2021 AMC 10B Fall 第 3 题

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3.

表达式

\dfrac{2021}{2020} - \dfrac{2020}{2021}

等于最简分数

\frac{p}{q}

，其中

p

与

q

为正整数且最大公因数为

1

。求

p

。

The expression

\dfrac{2021}{2020} - \dfrac{2020}{2021}

is equal to the fraction

\frac{p}{q}

in which

p

and

q

are positive integers whose greatest common divisor is

1.

What is

p?

1

9

2020

2021

4041

答案：E

知识点：分数平方差

难度评级：770

小提示：

使用公分母。

Use a common denominator

大提示：

分子为

2021^2-2020^2

。

The numerator is

2021^2-2020^2

解答：

通分得

\dfrac{2021\cdot 2021}{2020\cdot 2021} -\dfrac{2020\cdot 2020}{2020\cdot 2021}

= \dfrac{2021^2-2020^2}{2020\cdot 2021}\text{。}

利用平方差公式，可进一步化为

\dfrac{(2021-2020)(2021+2020)}{2020\cdot 2021}

=\dfrac{4041}{2020\cdot 2021}\text{。}

因为

4041

与

2020

、

2021

互质，所以分子为

4041

。

所以答案是 E。

We can rewrite this as

\dfrac{2021\cdot 2021}{2020\cdot 2021} -\dfrac{2020\cdot 2020}{2020\cdot 2021}

= \dfrac{2021^2-2020^2}{2020\cdot 2021}.

This can be simplified to

\dfrac{(2021-2020)(2021+2020)}{2020\cdot 2021}

=\dfrac{4041}{2020\cdot 2021}.

Since

4041

is coprime with both

2020

and

2021,

we know

4041

is the numerator.

Thus, the answer is E .