Question

半径为 $2$ 的黏土球最多有多少个可以完全放进边长为 $6$ 的立方体中？假设这些球在装入立方体之前可以重新塑形，但不能被压缩。

What is the maximum number of balls of clay with radius $2$ that can completely fit inside a cube of side length $6$ assuming that the balls can be reshaped but not compressed before they are packed in the cube?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：D

知识点：体积球估算

难度评级：870

解答：

立方体体积为 $6^3=216$ 。一个半径为二的球体积为 $\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}$ 。

因为黏土可以重新塑形但不能压缩，最多的球数为 $\left\lfloor \frac{216}{32\pi/3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{81}{4\pi}\right\rfloor.$

由于 $12\lt 4\pi\lt 13$ ，可知 $6\lt \frac{81}{4\pi}\lt \frac{81}{12}\lt 7$ ，因此其整数部分为 $6$ 。

所以正确答案是 D。

The cube has volume $6^3=216.$ One ball of clay has volume $\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}.$

Because the clay may be reshaped but not compressed, the maximum number of balls is $\left\lfloor \frac{216}{32\pi/3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{81}{4\pi}\right\rfloor.$

Since $12\lt 4\pi\lt 13,$ we have $6\lt \frac{81}{4\pi}\lt \frac{81}{12}\lt 7.$ Therefore the floor is $6.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 3 题

答案：D

难度评级：870

解答：

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