2021 AMC 10A Fall 第 16 题

Question

考虑函数

f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|

它的图像关于下列哪一项对称？这里

\lfloor x \rfloor

表示不超过

x

的最大整数。

Consider the function

f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|

Its graph is symmetric about which of the following? (Here

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer not exceeding

x.

)

y

轴

the

y

-axis

直线

x=1

the line

x=1

原点

the origin

点

\left(\dfrac{1}{2},0\right)

the point

\left(\dfrac{1}{2},0\right)

点

(1,0)

the point

(1,0)

答案：D

知识点：取整函数对称性（代数）

难度评级：1540

小提示：

比较

f(1-x)

与

f(x)

。

Compare

f(1-x)

with

f(x)

大提示：

这个关系是中心对称，而不是轴对称。

The relation is point symmetry, not line symmetry

解答：

对任意实数

x

，

\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x) \end{aligned}\text{。}

等价地，令

x

写成

\frac{1}{2}+t

，则

f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right)

。这表示图像关于点

\left(\frac{1}{2},0\right)

中心对称。

所以正确答案是 D。

For every real

x,

\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}

Equivalently, replacing

x

by

\frac{1}{2}+t

gives

f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right).

This is point symmetry about

\left(\frac{1}{2},0\right).

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 16 题

答案：D

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

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