Question

函数的图像关于下列哪一项对称？这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。 $f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|$

The graph of $f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|$ is symmetric about which of the following? (Here $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

$y$ 轴

the $y$ -axis

直线 $x=1$

the line $x=1$

原点

the origin

点 $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$

the point $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$

点 $(1,0)$

the point $(1,0)$

答案：D

知识点：取整函数对称性（代数）

难度评级：1540

解答：

对任意实数 $x$ ， $\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}$

等价地，令 $x$ 写成 $\frac{1}{2}+t$ ，则 $f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right)$ 。这表示图像关于点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 中心对称。

所以正确答案是 D。

For every real $x,$ $\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}$

Equivalently, replacing $x$ by $\frac{1}{2}+t$ gives $f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right).$ This is point symmetry about $\left(\frac{1}{2},0\right).$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 16 题

答案：D

难度评级：1540

解答：

其他年份的第 16 题