Question

设 $f$ 是定义在正有理数集上的函数，并且 $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ 对所有正有理数 $a$ 和 $b$ 都成立。又假设 $f$ 还满足：对每个质数都有 $f(p)=p$ ，其中 $p$ 为质数。下列哪个数 $x$ 满足 $f(x) < 0$ ？

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b.$ Suppose that $f$ also has the property that $f(p)=p$ for every prime number $p.$ For which of the following numbers $x$ is $f(x) < 0?$

$\dfrac{17}{32}$

$\dfrac{11}{16}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{25}{11}$

答案：E

知识点：函数方程质因数分解

难度评级：1280

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文字解答：

对形如 $f(p^e)=ef(p)=ep$ 的数，其中 $p$ 是质数，反复应用函数性质可得 $e$ 。 $f(a/b)=f(a)-f(b)$ 。 $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$

现在可以逐项计算各个选项。 $\begin{aligned} f(17/32)&=17-5\cdot2=7,\\ f(11/16)&=11-4\cdot2=3,\\ f(7/9)&=7-2\cdot3=1,\\ f(7/6)&=7-2-3=2,\\ f(25/11)&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Repeated use of the functional equation gives $f(p^e)=ef(p)=ep$ for every prime $p$ and positive integer $e.$ Also, $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$ so $f(a/b)=f(a)-f(b).$

Evaluating the choices by prime factorization, $\begin{aligned} f(17/32)&=17-5\cdot2=7,\\ f(11/16)&=11-4\cdot2=3,\\ f(7/9)&=7-2\cdot3=1,\\ f(7/6)&=7-2-3=2,\\ f(25/11)&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$ Only the final value is negative.

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 18 题

答案：E

难度评级：1280

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其他年份的第 18 题