Question

令 $D(n)$ 表示把正整数 $n$ 写成乘积的方式数，其中 $k\ge1$ ，每个 $f_i$ 都是严格大于 $1$ 的整数，并且因子的排列顺序有区别，也就是说仅因因子顺序不同的表示也算不同。例如， $6$ 可写为 $6$ 、 $2\cdot 3$ 和 $3\cdot2$ ，所以 $D(6) = 3$ 。求 $D(96)$ ？ $n = f_1\cdot f_2\cdots f_k,$

Let $D(n)$ denote the number of ways of writing the positive integer $n$ as a product $n = f_1\cdot f_2\cdots f_k,$ where $k\ge1,$ the $f_i$ are integers strictly greater than $1,$ and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number $6$ can be written as $6,$ $2\cdot 3,$ and $3\cdot2,$ so $D(6) = 3.$ What is $D(96)?$

$112$

$128$

$144$

$172$

$184$

答案：A

知识点：质因数分解组合

难度评级：2150

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文字解答：

写作 $96=2^5\cdot3$ 。假设一个有序分解有 $k$ 个因子。唯一的质因子 $3$ 必须出现在恰好一个因子中，可用 $k$ 种方式选择这个位置。

其余 $k-1$ 个因子都必须至少含有一个因子 $2$ ，而含 $3$ 的那个因子可以含有任意个因子 $2$ 。按这些条件分配五个因子 $2$ ，有种方式。因此含有 $k$ 个因子的有序分解数为 $k\binom{5}{k-1}$ ，其中 $1\le k\le6$ 。 $\binom{5}{k-1}$

所以令 $j=k-1$ ，得到 $D(96)=\sum_{k=1}^6 k\binom{5}{k-1}.$ $\begin{aligned} &\sum_{j=0}^5 (j+1)\binom5j \\ &\quad =\sum_{j=0}^5 j\binom5j+\sum_{j=0}^5\binom5j \\ &\quad =5\cdot2^4+2^5 \\ &\quad =80+32=112. \end{aligned}$

所以正确答案是 A。

Write $96=2^5\cdot3.$ Suppose an ordered factorization has $k$ factors. Exactly one factor contains the single prime factor $3$ ; choose its position in $k$ ways.

The other $k-1$ factors must each contain at least one factor of $2,$ while the factor containing $3$ may contain any number of factors of $2.$ Distributing the five factors of $2$ under these conditions can be done in $\binom{5}{k-1}$ ways. Therefore the number of ordered factorizations with $k$ factors is $k\binom{5}{k-1},$ where $1\le k\le6.$

Thus $D(96)=\sum_{k=1}^6 k\binom{5}{k-1}.$ Letting $j=k-1,$ this becomes $\begin{aligned} &\sum_{j=0}^5 (j+1)\binom5j \\ &\quad =\sum_{j=0}^5 j\binom5j+\sum_{j=0}^5\binom5j \\ &\quad =5\cdot2^4+2^5 \\ &\quad =80+32=112. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B 第 25 题

答案：A

难度评级：2150

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其他年份的第 25 题