2020 AMC 10A 第 20 题

先试着解答 2020 AMC 10A 第 20 题，然后核对你的答案与视频与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2020 AMC 10A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

四边形

ABCD

满足

\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ}

、

AC=20

、

CD=30

。对角线

\overline{AC}

和

\overline{BD}

交于点

E

，且

AE=5

。求四边形

ABCD

的面积。

Quadrilateral

ABCD

satisfies

\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ},

AC=20,

and

CD=30.

Diagonals

\overline{AC}

and

\overline{BD}

intersect at point

E,

and

AE=5.

What is the area of quadrilateral

ABCD?

330

340

350

360

370

答案：D

知识点：坐标几何圆周角面积分割

难度评级：2150

小提示：

把

AC

放在

x

轴上，并使用已知点

E

。

Put

AC

on the

x

-axis and use the known point

E

大提示：

点

B

既在直线

DE

上，也在以

AC

为直径的圆上。

Point

B

lies both on line

DE

and on the circle with diameter

AC

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

取

A=(0,0)

，

C=(20,0)

。因为

\angle ACD=90^\circ

且

CD=30

，可取

D=(20,30)

。点

E

的坐标是

(5,0)

，所以直线

BD

的方程为

y=2(x-5)

。

因为

\angle ABC=90^\circ

，点

B

在以

AC

为直径的圆上：

(x-10)^2+y^2=100

。与

y=2(x-5)

联立，得

x=2

或

10

。凸四边形对应

B=(2,-6)

。

于是

[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300

，且

[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60

。总面积为

360

。正确答案是 D。

Place

A=(0,0)

and

C=(20,0)

. Since

\angle ACD=90^\circ

and

CD=30

, take

D=(20,30)

. The point

E

is

(5,0)

, so line

BD

has equation

y=2(x-5)

.

Because

\angle ABC=90^\circ

, point

B

lies on the circle with diameter

AC

:

(x-10)^2+y^2=100

. Intersecting with

y=2(x-5)

gives

x=2

or

10

. The convex quadrilateral uses

B=(2,-6)

.

Then

[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300

, and

[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60

. The total area is

360

. Thus, D is the correct answer.