Question

在坐标平面中，从顶点为 $(0, 0)$ 、 $(2020, 0)$ 、 $(2020, 2020)$ 和 $(0, 2020)$ 的正方形内部随机选一点。该点距离某个格点不超过 $d$ 个单位的概率为 $\tfrac{1}{2}$ 。其中格点指坐标 $(x, y)$ 中 $x$ 和 $y$ 均为整数的点。求 $d$ 四舍五入到最接近的十分位是多少？

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ and $(0, 2020).$ The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac{1}{2}.$ (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

答案：B

知识点：几何概率圆面积格点

难度评级：1540

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

对于 $d<\dfrac12$ ，每个单位正方形中，距离某个格点不超过 $d$ 的部分由四个四分之一圆组成，总面积为 $\pi d^2$ 。大正方形由单位正方形铺成，所以所求概率为 $\pi d^2$ 。

令 $\pi d^2=\dfrac12$ ，得 $d=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\approx0.399$ ，四舍五入到十分位为 $0.4$ 。正确答案是 B。

For $d<\dfrac12$ , the points within $d$ of lattice points occupy, in each unit square, four quarter-circles whose total area is $\pi d^2$ . The enormous square is tiled by unit squares, so the desired probability is $\pi d^2$ .

Setting $\pi d^2=\dfrac12$ gives $d=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\approx0.399$ , which rounds to $0.4$ . Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 16 题

答案：B

难度评级：1540

视频讲解：

文字解答：

其他年份的第 16 题