Question

从 $12!$ 的正整数因数中随机选一个。所选因数为完全平方数的概率可写为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。

A positive integer divisor of $12!$ is chosen at random. The probability that the divisor chosen is a perfect square can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$3$

$5$

$12$

$18$

$23$

答案：E

知识点：因数个数完全平方数基本概率

难度评级：1420

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文字解答：

$12!$ 的质因数分解为 $2^{10}3^5 5^2 7^1 11^1$ 。因此 $12!$ 的正因数总数为 $(10+1)(5+1)$ $\cdot(2+1)(1+1)(1+1)=792$ 。

平方因数的所有质数指数必须为偶数，因此共有 $6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1=36$ 个。所求概率为 $36/792=1/22$ ，所以 $m+n=1+22=23$ 。正确答案是 E。

The prime factorization of $12!$ is $2^{10}3^5 5^2 7^1 11^1$ . Therefore $12!$ has $(10+1)(5+1)$ $\cdot(2+1)(1+1)(1+1)=792$ positive divisors.

A square divisor must use only even exponents, giving $6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1=36$ square divisors. The probability is $36/792=1/22$ , so $m+n=1+22=23$ . Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 15 题

答案：E

难度评级：1420

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其他年份的第 15 题