2020 AMC 10A 第 15 题

Question

从

12!

的正整数因数中随机选一个。所选因数为完全平方数的概率可写为

\frac{m}{n}

，其中

m

、

n

为互质正整数。求

m+n

。

A positive integer divisor of

12!

is chosen at random. The probability that the divisor chosen is a perfect square can be expressed as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

3

5

12

18

23

答案：E

知识点：因数个数完全平方数基本概率

难度评级：1420

小提示：

把

12!

分解成质因数。

Factor

12!

into primes

大提示：

平方因数只能选择偶数质数指数。

A square divisor must choose only even prime exponents

视频讲解：

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文字解答：

12!

的质因数分解为

2^{10}3^5 5^2 7^1 11^1

。因此

12!

的正因数总数为

(10+1)(5+1)

\cdot(2+1)(1+1)(1+1)=792

。

平方因数的所有质数指数必须为偶数，因此共有

6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1=36

个。所求概率为

\frac{36}{792}=\frac{1}{22}

，所以

m+n=1+22=23

。正确答案是 E。

The prime factorization of

12!

is

2^{10}3^5 5^2 7^1 11^1

. Therefore

12!

has

(10+1)(5+1)

\cdot(2+1)(1+1)(1+1)=792

positive divisors.

A square divisor must use only even exponents, giving

6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1=36

square divisors. The probability is

\frac{36}{792}=\frac{1}{22}

, so

m+n=1+22=23

. Thus, E is the correct answer.