2019 AMC 10B 第 13 题

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13.

所有满足下列条件的实数

x

的和是多少：

4

，

6

，

8

，

17

和

x

这五个数的中位数等于它们的平均数？

What is the sum of all real numbers

x

for which the median of the numbers

4,

6,

8,

17,

and

x

is equal to the mean of those five numbers?

-5

0

5

\dfrac{15}{4}

\dfrac{35}{4}

答案：A

知识点：平均数中位数（数据）分类讨论

难度评级：1490

小提示：

按

x<6

、

6\le x\le8

、

x>8

分类。

Case on whether

x<6

,

6\le x\le8

, or

x>8

大提示：

每种情况下，中位数都有简单表达式。

In each case the median has a simple expression

解答：

平均数为

7+\frac{x}{5}

。若

x<6

，中位数为

6

，所以

7+\frac{x}{5}=6

给出有效值

x=-5

。

若

6\le x\le8

，中位数为

x

，但

7+\frac{x}{5}=x

给出

x=\frac{35}{4}

，不在该区间内。若

x>8

，中位数为

8

，但

7+\frac{x}{5}=8

给出

x=5

，仍不在所需范围内。

因此唯一可能的

x

是

-5

，其和为

-5

。

所以答案是 A。

The mean is

7+\frac{x}{5}

. If

x<6

, the median is

6

, so

7+\frac{x}{5}=6

gives the valid value

x=-5

.

If

6\le x\le8

, the median is

x

, but

7+\frac{x}{5}=x

gives

x=\frac{35}{4}

, outside this interval. If

x>8

, the median is

8

, but

7+\frac{x}{5}=8

gives

x=5

, again outside the required range.

Therefore, the only possible

x

is

-5,

making the sum

-5.

Thus, the answer is A .