Question

下图显示了一个大圆内的 $13$ 个半径为 $1$ 的圆，所有交点都是切点。求图中位于大圆内部、所有半径为 $1$ 的小圆外部的阴影区域面积。

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4 \pi \sqrt{3}$

$7 \pi$

$\pi\left(3\sqrt{3} +2\right)$

$10 \pi \left(\sqrt{3} - 1\right)$

$\pi\left(\sqrt{3} + 6\right)$

答案：A

知识点：圆面积等边三角形相切圆

难度评级：1540

解答：

我们知道 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABO$ 都是等边三角形。

利用特殊直角三角形求这些三角形的高，可得 $OC = 2\sqrt{3}$ 。

因此大圆半径为 $2\sqrt{3} + 1,$ 因为在 $\overline{OC}.$ 之后还多出一个单位的小圆半径。

大圆面积为 $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

所有内侧小圆的总面积为 $13\pi.$

阴影区域面积为 $(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

所以正确答案是 A。

We know $\triangle ABC$ and $\triangle ABO$ are equilateral triangles.

We get that $OC = 2\sqrt{3}$ using special right triangles to find the altitudes of the triangles.

The radius of the larger circle is therefore $2\sqrt{3} + 1,$ since there is the extra unit radius after $\overline{OC}.$

The area of the larger circle is $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

The area of all the inner circles is $13\pi.$

The area of the shaded region is $(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 16 题

答案：A

难度评级：1540

解答：

其他年份的第 16 题