Question

令 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。有多少个实数 $x$ 满足方程 $x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x$ ？

Let $\lfloor x \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ How many real numbers $x$ satisfy the equation $x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x?$

$197$

$198$

$199$

$200$

$201$

答案：C

知识点：取整函数区间内整数计数

难度评级：2270

解答：

设 $a = \lfloor x \rfloor$ 。方程可写成 $x^2 = 10{,}000(x - a)$ $= 10{,}000\{x\}$ 。因为 $0 \le \{x\} < 1$ ，所以 $0 \le x^2 < 10{,}000$ ，即 $-100 < x < 100$ 。在每个区间 $[a, a + 1)$ 上，函数 $10{,}000x - x^2$ 从 $10{,}000a - a^2$ 单调增加并趋近于但不取到 $10{,}000(a+1) - (a+1)^2$ 。它恰好在 $(a + 1)^2 < 10{,}000$ 时取到 $10{,}000a$ 。满足条件的整数为 $-100 \le a \le 98$ ，共 $199$ 个。正确答案是 C。

Let $a = \lfloor x \rfloor.$ The equation reads $x^2 = 10{,}000(x - a)$ $= 10{,}000\{x\},$ and since $0 \le \{x\} < 1,$ this forces $0 \le x^2 < 10{,}000,$ so $-100 < x < 100.$ On each interval $[a, a + 1)$ the quantity $10{,}000x - x^2$ increases from $10{,}000a - a^2$ and approaches, but does not reach, $10{,}000(a+1) - (a+1)^2.$ It hits $10{,}000a$ exactly once precisely when $(a + 1)^2 < 10{,}000.$ That holds for the integers $-100 \le a \le 98,$ which is $199$ solutions. Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10B 第 25 题

答案：C

难度评级：2270

解答：

其他年份的第 25 题