Question

Mary 选择了一个偶数 $4$ 位数 $n$ 。她把 $n$ 的所有因子按从小到大的顺序从左到右写下： $1, 2, \ldots, \frac{n}{2}, n$ 。某一刻 Mary 写下了 $323$ ，它是 $n$ 的一个因子。写在 $323$ 右边的下一个因子的最小可能值是多少？

Mary chose an even $4$ -digit number $n.$ She wrote down all the divisors of $n$ in increasing order from left to right: $1, 2, \ldots, \frac{n}{2}, n.$ At some moment Mary wrote $323$ as a divisor of $n.$ What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of $323?$

$324$

$330$

$340$

$361$

$646$

答案：C

知识点：因数最小公倍数质因数分解

难度评级：2100

解答：

设 $d$ 是 $323.$ 后的下一个因数。若 $\gcd(d,323)=1,$ 则 $n$ 是 $323d>323^2>9999,$ 的倍数，这对四位数不可能。因此 $\gcd(d,323)>1.$

因为 $323=17\cdot19,$ 这个最大公因数至少为 $17.$ 它也整除 $d-323,$ 所以 $d-323\ge17$ ，从而 $d\ge340.$

这个界可以达到：当 $n=6460=2^2\cdot5\cdot17\cdot19,$ 时， $323$ 和 $340$ 都是因数。下界说明二者之间不存在因数。因此最小的下一个因数是 $340,$ 正确答案是 C。

Let $d$ be the next divisor after $323.$ If $\gcd(d,323)=1,$ then $n$ is a multiple of $323d>323^2>9999,$ impossible for a four-digit number. Thus $\gcd(d,323)>1.$

Since $323=17\cdot19,$ this gcd is at least $17.$ It also divides $d-323,$ so $d-323\ge17$ and hence $d\ge340.$

This bound is attained: for $n=6460=2^2\cdot5\cdot17\cdot19,$ both $323$ and $340$ are divisors. The lower bound shows there is no divisor between them. Thus the smallest possible next divisor is $340,$ and C is the correct answer.

2018 AMC 10B 第 21 题

答案：C

难度评级：2100

解答：

其他年份的第 21 题