Question

对于正整数 $n$ 和非零数字 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，令 $A_n$ 表示每一位数字都等于 $a$ 的 $n$ 位整数；令 $B_n$ 表示每一位数字都等于 $b$ 的 $n$ 位整数；令 $C_n$ 表示每一位数字都等于 $c$ 的 $2n$ 位（而不是 $n$ 位）整数。若至少有两个 $n$ 的取值满足，那么 $a + b + c$ 的最大可能值是多少？ $C_n - B_n = A_n^2?$

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a$ ; let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b$ ; and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

答案：D

知识点：数字等比数列代数变形

难度评级：2390

解答：

各位数字相同的数可写成 $\begin{aligned} A_n&=a\dfrac{10^n-1}{9},\\ B_n&=b\dfrac{10^n-1}{9},\\ C_n&=c\dfrac{10^{2n}-1}{9}. \end{aligned}$

把这些表达式代入 $C_n-B_n=A_n^2$ ，再除以 $(10^n-1)/9$ ，得到 $c(10^n+1)-b=a^2\dfrac{10^n-1}{9}.$

整理可得 $(9c-a^2)10^n=9b-9c-a^2.$ 若它对两个不同的 $n,$ 值成立，两式相减可知 $9c-a^2=0.$ 原方程又迫使 $9b-9c-a^2=0.$

因此 $c=a^2/9$ ，且 $b=2a^2/9.$ 因为 $a,b,c$ 都是非零数字，候选三元组为 $(a,b,c)=(3,2,1),$ $(6,8,4),$ 和 $(9,18,9).$ 最后一个三元组无效，因为 $18$ 不是一位数字。最大的有效和为 $6+8+4=18.$ 所以正确答案是 D。

The repeated-digit numbers can be written as $\begin{aligned} A_n&=a\dfrac{10^n-1}{9},\\ B_n&=b\dfrac{10^n-1}{9},\\ C_n&=c\dfrac{10^{2n}-1}{9}. \end{aligned}$

Substituting these expressions into $C_n-B_n=A_n^2$ and dividing by $(10^n-1)/9$ gives $c(10^n+1)-b=a^2\dfrac{10^n-1}{9}.$

Rearranging yields $(9c-a^2)10^n=9b-9c-a^2.$ If this holds for two different values of $n,$ subtracting the two equations shows that $9c-a^2=0.$ The displayed equation then also forces $9b-9c-a^2=0.$

Hence $c=a^2/9$ and $b=2a^2/9.$ Because $a,b,c$ are nonzero digits, the candidates are $(a,b,c)=(3,2,1),$ $(6,8,4),$ and $(9,18,9).$ The last triple is invalid because $18$ is not a digit. The greatest valid sum is $6+8+4=18.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 25 题

答案：D

难度评级：2390

解答：

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