Question

设 $a, b, c$ 和 $d$ 是正整数，并满足以及下列哪一个数一定是 $a$ 的因数？ $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ $70 < \gcd(d, a) < 100.$

Let $a, b, c,$ and $d$ be positive integers such that $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ and $70 < \gcd(d, a) < 100.$ Which of the following must be a divisor of $a?$

$5$

$7$

$11$

$13$

$17$

答案：D

知识点：最大公约数质因数分解极限情形界定

难度评级：2010

解答：

由 $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ 和 $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ 可知， $a$ 能被 $2^3\cdot3$ 整除，但不能被 $3^2$ 整除。

由 $\gcd(b,c)=36$ 和 $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ 可知， $d$ 能被 $2\cdot3^3$ 整除，但不能被 $2^2$ 整除。因此 $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ ，其中 $n$ 不含因子 $2$ 或 $3$ 。

由 $70<6n<100$ 得 $12\le n\le16$ 。这个范围内不含因子 $2$ 或 $3$ 的整数 $n$ 只有 $13$ ，所以这个因子必为 $13$ 。因此正确答案是 D。 $a$ 。

From $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ and $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , the number $a$ is divisible by $2^3\cdot3$ but not by $3^2$ .

From $\gcd(b,c)=36$ and $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , the number $d$ is divisible by $2\cdot3^3$ but not by $2^2$ . Therefore $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , where $n$ has no factor $2$ or $3$ .

Since $70<6n<100,$ the integer $n$ satisfies $12\le n\le16.$ The only value in this range with no factor $2$ or $3$ is $13,$ so $13$ must divide $a.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 22 题

答案：D

难度评级：2010

解答：

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