Question

直角三角形 $ABC$ 的两条直角边长分别为 $AB=20$ 和 $BC=21$ 。从顶点 $B$ 向斜边 $\overline{AC}$ 上一点作线段，把 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 也计算在内，共有多少条这样的线段长度是整数？

Right triangle $ABC$ has leg lengths $AB=20$ and $BC=21.$ Including $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ how many line segments with integer length can be drawn from vertex $B$ to a point on hypotenuse $\overline{AC}?$

$5$

$8$

$12$

$13$

$15$

答案：D

知识点：直角三角形高线区间内整数计数

难度评级：1540

解答：

设 $P$ 是从 $B$ 向 $\overline{AC}.$ 所作高的垂足。由勾股定理得 $AC=29.$ 用两种方式计算面积，得到 $\dfrac{29\cdot PB}{2}=\dfrac{20\cdot21}{2},$ 所以 $PB=\dfrac{420}{29},$ 它介于 $14$ 和 $15.$ 之间。

当端点从 $A$ 移到 $P,$ 时，它到 $B$ 的距离从 $20$ 连续减小到 $PB.$ 因此长度为每个整数 $15,16,17,18,19,20.$ 的线段各有一条。当端点从 $P$ 移到 $C,$ 时，距离从 $PB$ 连续增大到 $21,$ 所以长度为每个整数 $15,16,17,18,19,20,21.$ 的线段各有一条。这些是 $6+7=13$ 条不同的线段。

所以正确答案是 D。

Let $P$ be the foot of the altitude from $B$ to $\overline{AC}.$ The Pythagorean Theorem gives $AC=29.$ Computing the area in two ways gives $\dfrac{29\cdot PB}{2}=\dfrac{20\cdot21}{2},$ so $PB=\dfrac{420}{29},$ which lies between $14$ and $15.$

As the endpoint moves from $A$ to $P,$ its distance from $B$ decreases continuously from $20$ to $PB.$ Thus there is one segment of each integer length $15,16,17,18,19,20.$ As the endpoint moves from $P$ to $C,$ the distance increases continuously from $PB$ to $21,$ giving one segment of each integer length $15,16,17,18,19,20,21.$ These are $6+7=13$ distinct segments.

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 16 题

答案：D

难度评级：1540

解答：

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