Question

有多少个正整数有序三元组 $(x,y,z)$ 同时满足以及？ $\text{lcm}(x,y) = 72,$ $\text{lcm}(x,z) = 600,$ $\text{lcm}(y,z)=900?$

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y) = 72,$ $\text{lcm}(x,z) = 600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

答案：A

知识点：最小公倍数质因数分解分类讨论

难度评级：2390

解答：

先分解给定的最小公倍数：因为 $\operatorname{lcm}(x,y)$ 没有因子 $5$ ，所以 $x$ 和 $y$ 都没有因子 $5$ ，而 $z$ 必须含 $5^2$ 。 $\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}$

写 $x=2^a3^b$ ， $y=2^c3^d$ ， $z=2^e3^f5^2$ 。 $\operatorname{lcm}(y,z)$ 中 $3$ 的指数迫使 $d=2$ ， $\operatorname{lcm}(x,z)$ 中 $2$ 的指数迫使 $a=3$ 。

剩余独立条件为 $\max(b,f)=1$ 和 $\max(c,e)=2$ 。前者有 $3$ 个有序选择，后者有 $5$ 个有序选择，所以共有 $3\cdot5=15$ 个三元组。

所以正确答案是 A。

Factor the given least common multiples: $\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}$ Since $\operatorname{lcm}(x,y)$ has no factor of $5$ , neither $x$ nor $y$ has a factor of $5$ , and $z$ must contain $5^2$ .

Write $x=2^a3^b$ , $y=2^c3^d$ , and $z=2^e3^f5^2$ . The power of $3$ in $\operatorname{lcm}(y,z)$ forces $d=2$ , and the power of $2$ in $\operatorname{lcm}(x,z)$ forces $a=3$ .

The remaining independent conditions are $\max(b,f)=1$ and $\max(c,e)=2$ . These have $3$ and $5$ ordered choices, respectively, so there are $3\cdot5=15$ triples.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A 第 25 题

答案：A

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 25 题