2015 AMC 10B 第 16 题

Question

Al、Bill 和 Cal 将各自随机分到一个

1

到

10

之间的整数，且三人得到的数两两不同。Al 的数是 Bill 的数的正整数倍，并且 Bill 的数是 Cal 的数的正整数倍的概率是多少？

Al, Bill, and Cal will each randomly be assigned a whole number from

1

to

10,

inclusive, with no two of them getting the same number. What is the probability that Al’s number will be a whole number multiple of Bill’s and Bill’s number will be a whole number multiple of Cal’s?

\dfrac{9}{1000}

\dfrac{1}{90}

\dfrac{1}{80}

\dfrac{1}{72}

\dfrac{2}{121}

答案：C

知识点：基本概率整除性系统列举

难度评级：1600

小提示：

数有序三元组

(A,B,C)

，其中

A

是

B

的倍数，

B

是

C

的倍数。

Count ordered triples

(A,B,C)

with

A

a multiple of

B

and

B

a multiple of

C

大提示：

从整除链中的最小数

C

开始列举。

Start with the smallest number

C

in the divisibility chain

解答：

设 Al、Bill、Cal 的数分别为

(A,B,C)

。需要

A

是

B

的倍数，且

B

是

C

的倍数，同时三个数互不相同。

满足条件的三元组为

\begin{gathered} (4,2,1),(6,2,1),(8,2,1), \\ (10,2,1),(6,3,1),(9,3,1), \\ (8,4,1),(10,5,1),(8,4,2) \end{gathered}\text{。}

9

种有利的分配。

总分配数为

10\cdot9\cdot8=720

，所以概率为

\frac9{720}=\frac1{80}

。

所以正确答案是 C。

Let

(A,B,C)

be the numbers assigned to Al, Bill, and Cal. We need

A

to be a multiple of

B

, and

B

to be a multiple of

C

, with all three numbers distinct.

The valid triples are

\begin{gathered} (4,2,1),(6,2,1),(8,2,1), \\ (10,2,1),(6,3,1),(9,3,1), \\ (8,4,1),(10,5,1),(8,4,2). \end{gathered}

There are

9

favorable assignments.

The total number of assignments is

10\cdot9\cdot8=720

, so the probability is

\frac9{720}=\frac1{80}

.

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 10B 第 16 题

答案：C

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

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