Question

有多少个整数 $x$ ，使点 $(x, -x)$ 位于以 $(5, 5)$ 为圆心、半径为 $10$ 的圆内或圆上？

For how many integers $x$ is the point $(x, -x)$ inside or on the circle of radius $10$ centered at $(5, 5)?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

点 $(x,-x)$ 到 $(5,5)$ 的距离平方为 $\begin{aligned} &(x-5)^2+(-x-5)^2 \\ &= 2x^2+50. \end{aligned}$

由 $2x^2+50\le100$ 得 $x^2\le25$ ，所以 $-5\le x\le5$ ，共有 $11$ 个整数。

所以正确答案是 A。

The squared distance from $(x,-x)$ to $(5,5)$ is $\begin{aligned} &(x-5)^2+(-x-5)^2 \\ &= 2x^2+50. \end{aligned}$

Being inside or on the circle means $2x^2+50\le100$ , so $x^2\le25$ . Thus $-5\le x\le5$ , giving $11$ integer values.

Thus, the correct answer is A.