Question

点 $(\sqrt{\pi}, a)$ 和 $(\sqrt{\pi}, b)$ 是方程图像上的两个不同点。求 $|a-b|$ 的值。 $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$

Points $(\sqrt{\pi}, a)$ and $(\sqrt{\pi}, b)$ are distinct points on the graph of $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ What is $|a-b|?$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\sqrt{1+\pi}$

$1 + \sqrt{\pi}$

代入 $x=\sqrt{\pi}$ ，得 $x^2=\pi$ 、 $x^4=\pi^2$ 。 $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

方程变为 $(y-\pi)^2=1$ ，所以 $y=\pi+1$ 或 $y=\pi-1$ ，两者之差为 $2$ 。

所以正确答案是 C。

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ . Then $x^2=\pi$ and $x^4=\pi^2$ , so the equation becomes $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Hence $(y-\pi)^2=1$ , giving the two possible values $y=\pi+1$ and $y=\pi-1$ . Their distance is $2$ .

Thus, C is the correct answer.