Question

一个由 $11$ 个正整数组成的列表平均数为 $10$ ，中位数为 $9$ ，且唯一众数为 $8$ 。列表中整数的最大可能值是多少？

A list of $11$ positive integers has a mean of $10,$ a median of $9,$ and a unique mode of $8.$ What is the largest possible value of an integer in the list?

$24$

$30$

$31$

$33$

$35$

答案：E

知识点：平均数中位数（数据）众数最优化

难度评级：1790

解答：

总和为 $11\cdot10=110$ 。

要最大化最大项，应最小化其余十项之和。按非递减顺序排列时，第六项为 $9$ ，且 $8$ 必须是唯一众数。若 $8$ 出现两次，前十项最小和为 $1+2+3+8+8+9$ $+10+11+12+13$ $=77$ ，最大项为 $33$ 。

若 $8$ 出现三次，前十项可取 $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11$ ，其和为 $75$ ，最大项可为 $35$ 。

若 $8$ 出现四次或五次，前十项最小和至少为 $80$ ，最大项至多为 $30$ 。

因此最大可能值为 $35$ ，正确答案是 E。

The list has total sum $11\cdot10=110$ . To maximize the largest entry, minimize the sum of the other ten entries.

In nondecreasing order, the sixth entry is $9$ , and $8$ must be the unique mode. If $8$ appears twice, the least possible first ten entries sum to $1+2+3+8+8+9$ $+10+11+12+13$ $=77$ , giving largest entry $33$ .

If $8$ appears three times, the least possible first ten entries are $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11$ , with sum $75$ , giving largest entry $35$ .

If $8$ appears four or five times, the least possible sum of the first ten entries is at least $80$ , so the largest entry is at most $30$ .

Therefore the largest possible entry is $35$ , and the correct answer is E .

2014 AMC 10B 第 18 题

答案：E

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 18 题