2014 AMC 10B 第 15 题

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15.

在长方形

ABCD

中，

DC = 2 \cdot CB

，点

E

和

F

在

\overline{AB}

上，使得

\overline{ED}

和

\overline{FD}

如图三等分

\angle ADC

。求

\triangle DEF

的面积与长方形

ABCD

面积之比。

In rectangle

ABCD,

DC = 2 \cdot CB

and points

E

and

F

lie on

\overline{AB}

so that

\overline{ED}

and

\overline{FD}

trisect

\angle ADC

as shown. What is the ratio of the area of

\triangle DEF

to the area of rectangle

ABCD?

\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{6}

\ \dfrac{\sqrt{6}}{8}

\ \dfrac{3\sqrt{3}}{16}

\ \dfrac{1}{3}

\ \dfrac{\sqrt{2}}{4}

答案：A

知识点：三角学面积比矩形

难度评级：1660

小提示：

使用从

D

出发的

30^\circ

和

60^\circ

射线。

Use the

30^\circ

and

60^\circ

rays from

D

大提示：

求出

EF

，再比较三角形和长方形面积。

Find

EF

, then compare triangle and rectangle areas

解答：

设

AD=h

。因为

DC=AB=2h

，所以长方形

ABCD

的面积为

2h^2

。

射线

DE

和

DF

与

DC

的夹角分别为

60^\circ

和

30^\circ

。

因此

AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}

且

AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3\text{。}

于是

\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}\end{aligned}\text{。}

\triangle DEF

的面积为

\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}\text{。}

所求面积比为

\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}\text{。}

所以正确答案是 A。

Let

AD=h.

Since

DC=AB=2h,

the area of rectangle

ABCD

is

2h^2.

The rays

DE

and

DF

make angles of

60^\circ

and

30^\circ,

respectively, with

DC.

Therefore,

AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}

and

AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.

Hence

\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}

The area of

\triangle DEF

is

\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.

The desired ratio is

\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.

Thus, the correct answer is A.