Question

坐标平面中的一个正方形，其四个顶点的 $y$ 坐标为 $0$ 、 $1$ 、 $4$ 、 $5$ 。这个正方形的面积是多少？

A square in the coordinate plane has vertices whose $y$ -coordinates are $0,$ $1,$ $4,$ and $5.$ What is the area of the square?

$16$

$17$

$25$

$26$

$27$

答案：B

知识点：坐标几何正方形（几何）向量

难度评级：1720

解答：

正方形的一对对角顶点具有相同的 $y$ 坐标平均值。因此两对对角顶点的 $y$ 坐标必须分别是 $(0,5)$ 和 $(1,4)$ ，因为只有这两对的和相等。特别地， $y$ 坐标为 $0$ 的顶点，与 $y$ 坐标为 $1$ 和 $4$ 的顶点相邻。

设一个顶点为 $A=(0,0)$ ，与它相邻且 $y$ 坐标为 $1$ 的顶点为 $B=(x,1)$ ，其中 $x>0$ 。

把边向量 $(x,1)$ 旋转 $90^\circ$ ，得到下一条边的向量 $(-1,x)$ ，所以另一个顶点的纵坐标为 $x$ 。剩余纵坐标为 $4$ 和 $5$ ，故 $x=4$ 。

边长的平方为 $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ ，也就是正方形的面积。

所以正确答案是 B。

Opposite vertices of a square have the same average $y$ -coordinate. Thus the opposite pairs must have $y$ -coordinates $(0,5)$ and $(1,4)$ , the two pairs with equal sum. In particular, a vertex with $y$ -coordinate $0$ is adjacent to vertices with $y$ -coordinates $1$ and $4$ .

Let one vertex be $A=(0,0)$ , and let its adjacent vertex with $y$ -coordinate $1$ be $B=(x,1)$ with $x>0$ .

Rotating the side vector $(x,1)$ by $90^\circ$ gives the next side vector $(-1,x)$ , so another vertex has y-coordinate $x$ . The remaining y-coordinates are $4$ and $5$ , hence $x=4$ .

The side length squared is $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , which is the area of the square.

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 18 题

答案：B

难度评级：1720

解答：

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