Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB=1$ ， $BC=2$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{AD}$ 的中点。点 $H$ 是 $\overline{GE}$ 的中点。阴影区域的面积是多少？

In rectangle $ABCD,$ $AB=1,$ $BC=2,$ and points $E,$ $F,$ and $G$ are midpoints of $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{AD},$ respectively. Point $H$ is the midpoint of $\overline{GE}.$ What is the area of the shaded region?

$\dfrac1{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{18}$

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

$\dfrac16$

答案：E

知识点：矩形中点相似

难度评级：1660

解答：

用 $\triangle DHC$ 的面积减去两个未涂阴影的小三角形。

把 $\overline{DH}$ 延长到 $B$ 。令 $\overline{DB}$ 与 $\overline{AF}$ 交于 $X$ 。

有 $\triangle DXF\sim\triangle BXA$ $AB=2\cdot DF$ 。由于 $BX=2\cdot DX$ ，所以。

这说明 $DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB$ ，所以 $\triangle DXF$ 的高是长方形高度的 $\dfrac{1}{3}$ 。

$\triangle DXF$ 的面积为 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.$

两个未涂阴影小三角形面积合计为 $2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ 。 $\triangle DHC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.$

因此阴影区域面积为 $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ 。

所以正确答案是 E。

We can find the area of the shaded region by finding the area of $\triangle DHC$ and subtracting out the two unshaded triangles.

Extend $\overline{DH}$ so that it hits $B.$ Let the intersection of $\overline{DB}$ and $\overline{AF}$ be $X.$

We have that $\triangle DXF\sim\triangle BXA.$ Since $AB=2\cdot DF$ , corresponding sides give $BX=2\cdot DX$ .

This means that $DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,$ which means that the altitude of $\triangle DXF$ is $\dfrac{1}{3}$ the height of the rectangle.

The area of $\triangle DXF$ is then $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.$

The area of both unshaded triangles is then $2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.$ The area of $\triangle DHC$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.$

The area of the shaded region is then $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.$

Thus, E is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 16 题

答案：E

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 16 题